Дорога в совершенство

Загадки простой повторной выборки

Всем, кто хотя бы в малой степени обучался статистике, знакомы разные варианты гипотетических утверждений о том, что экспериментальные данные

X[n] = {x(1),x(2),…,x(n)}

являются простой повторной выборкой. Иногда говорят о последовательности независимых наблюдений объектов из одной и той же популяции (генеральной совокупности), иногда говорят, что X[n] – последовательность независимых реализаций одной и той же случайной величины (или независимых исходов одной и той же случайной процедуры). Или же говорят о независимых экспериментах в одних и тех же условиях с объектами из одного и того же класса.

Все эти или аналогичные им варианты высказываний являются эхом понятия простой повторной выборки в математической статистике. А именно, последовательности y(1|w),y(2|w),…,y(n|w) независимых в совокупности случайных величин, подчиняющихся одному и тому же закону распределения. Мы слышим во всех фразах слова независимые и одни и те же, но эта похожесть на правду вредит больше, чем помогает, подобно тому, как звучащие «кит» и «речи» слова на двух близких языках, украинском и русском, абсолютно не совпадают по смыслу[1]. Отмечу некоторые важные различия.

Во-первых, если уж речь идет простой повторной выборке, то X[n] является реализацией целого набора случайных величин, каждое отдельное наблюдение является реализацией «своей», отдельной случайной величины. Но, одновременно, весь эксперимент в целом, все данные X[n] представляют реализацию одного ²элементарного² события w, столь элементарного (в кавычках), что оно вбирает в себя всю совокупность факторов, сопровождающих план проведения эксперимента и его реализацию во времени и пространстве.

С другой стороны, вербальная логика прикладников, противостоящая этим теоретическим «казусам» почти идеальна. Вот их рассуждение.

Попробуйте им возразить! Зачем же теоретикам понадобились n случайных величин? И почему они все n независимых реализаций этой случайной процедуры «запихивают» в одно (!) будто бы элементарное событие?

Наконец, о независимости. В теории говорится о независимости случайных величин в совокупности. Если объекты наблюдаются последовательно, один за другим, то это эквивалентно, по сути, тому, что каждое новое наблюдение происходит независимо от того, какими были результаты всех предыдущих наблюдений в целом. Важно, что это – более жесткое требование, чем независимость наблюдений друг от друга. На практике не так уж редки ситуации, когда наблюдения привязаны к неким координатам в реальном пространстве, в котором вполне допустимо говорить о независимости объектов наблюдения друг от друга, но весьма сомнительна их независимость в совокупности.

И ещё один казус в различиях представлений прикладников и представителей высокой теории. Вопрос о генеральной совокупности.

Практики, слыша или читая, подразумевают, что это – теоретический аналог популяции, некоторого потенциально «очень большого» множества объектов (предметов, явлений, образцов, участков и т.п. элементов физического мира), из которых извлекается выборка – конечное число наблюдаемых объектов, информация о которых и составляет статистические данные.

 В математической статистике генеральная совокупность – это множество элементарных событий, потенциал возможных реализаций. Заметим, что размер выборки никоим образом не связан в теории с генеральной совокупностью: она сама по себе, а генеральная совокупность – сама по себе.

Другими словами, теоретическая генеральная совокупность в некотором смысле связана с множеством потенциально возможных вариантов сбора экспериментальных данных, с множеством возможных реализаций процедуры выбора объектов более, чем с потенциальным множеством самих объектов.

Итак, мы видим, что смысловая интерпретация вербально одних и тех же понятий у практиков и теоретиков совершенно различна, и не очень понятно, каким образом мы можем это преодолеть. Ясно лишь одно: для этого надо найти какие-то эвристически понятные логико-семантические модели, связывающие пространственно-временной процесс сбора статистических данных с представлениями математической статистики. По крайней мере, нужно объяснить практикам, почему в теоретической модели случайных величин должно быть столько же, сколько наблюдений, почему весь набор данных представляет реализацию одного ²элементарного² события и почему генеральная совокупность элементарных событий никоим образом не аналог популяции объектов?

Попыткам разрешить эти проблемы, дать на них сколько-нибудь внятный ответ и будет посвящен текст, который будет вскорости вывешен. Он пишется в таком ключе, чтобы в них мог разобраться читатель, не имеющий серьезной математической подготовки, как если бы это были лекции для не математиков.

Такое изложение материала кажется правильным, поскольку основной целью является обоснование теоретической модели простой повторной выборки, базирующееся на представлениях о реально проводимых исследованиях. Надо было показать путь от фактического эксперимента к моделям математической статистики. При таком подходе обоснование – это цепочка правдоподобных рассуждений, вербальных моделей, элементы которых были бы прямыми аналогами элементов теоретической модели.

Вам это будет интересно!

Последние новости